Ejercicios 2 UT4

 

Como primer paso para ejercitarse en la solución de sistemas de ecuaciones mediante la reducción de matrices, Usted resolverá con este procedimiento  los ejercicios de tres ecuaciones con tres incógnitas que se vieron en la unidad 3 (ir a esos ejercicios). Les proponemos además el siguiente ejercicio, al cual le haremos una breve introducción.

Una aplicación importante de los sistemas de ecuaciones la tenemos en la determinación espectrofotométrica de mezclas de sustancias, cuando estas presentan absortividades diferentes en al menos tantas longitudes de onda como sustancias diferentes pretendemos determinar por este método. Sea por ejemplo una mezcla de tres sustancias que absorben en la región visible del espectro electromagnético como se ilustra en la figura siguiente:

Cuando tengamos una mezcla de las mismas, la absorbancia de la mezcla en cada una de las tres longitudes de onda será (en ausencia de interacciones entre las sustancias), será la suma de las absorbancias de cada una de las tres sustancias presentes en la mezcla en esas longitudes de onda, como se ilustra en la siguiente figura (en violeta el espectro de la mezcla):

 

Partiendo de la aditividad de las absorbancias tendremos:

 

Al1 = al1S1CS1 + a l1S2CS2 + al1S3CS3

Al2 = al2S1CS1 + a l2S2CS2 + al2S3CS3

Al3 = al3S1CS1 + a l3S2CS2 + al3S3CS3

 

Donde:

Ali es la absorbancia de la mezcla en la longitud de onda li;

aliSj es la absortividad (por ejemplo en g-1×l×cm-1) de la sustancia j en la longitud de onda li;

CSj es la concentración (por ejemplo en g/l) de la sustancia j.

Entonces, si conocemos o determinamos experimentalmente las absortividades de los componentes de la mezcla en las diferentes longitudes de onda  y medimos la absorbancia de su mezcla en esas tres longitudes de onda, se puede hallar la concentración de cada una de las sustancias resolviendo el sistema de ecuaciones anterior.

 

Se tiene una mezcla de tres colorantes para alimentos y se determinan experimentalmente sus absortividades, en g-1×l×cm-1, que se muestran en la siguiente tabla:

 

al1

al2

al3

Colorante 1

0.1

0.15

0.8

Colorante 2

0.8

0.05

0.1

Colorante 3

0.05

0.9

0.05

 

Se determina la absorbancia de una solución de 1.2 g/l de la mezcla de las mismas, obteniendo: Al1 = 0.295; Al2 = 0.675; Al3 = 0.225. Determine la concentración de cada uno de los colorantes (en g/l).

R/ CC1 = 0.2 ; CC2 = 0.3 ; CC3 = 0.7

 

La aplicación más importante de la reducción de matrices está en la solución de sistemas de más de tres ecuaciones con las correspondientes variables. A continuación les propongo algunos de 4 ecuaciones para que los resuelvan y los discutamos en el aula.

 

2x – 2y + z + 3w = 2

2z + w +y + 3x = 5

x + 3y – 2w = 3

0.5x – 5y + 4w + 2z = 0

 

2x – y – z – w = 6

3y + 2z + 2w + x = – 1

2w – 3z – 2y + 3x = 3

3y + 2w – 5z + 3x = 10

 

 

3x – y + 2 z + 3w = 3

2y – 4z – 2w + x = – 3

3y – 2x – 3z + w = – 9

12z + 4y + 5x + 7w = 6

 

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