Sea A una matriz de m×n y B una matriz de n×p. Entonces el producto AB es la matriz m×p C, cuyo elemento cij de la i-ésima fila y la j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera: sumar los productos formados al multiplicar en orden ( o sea el primero, el segundo, etc.), los elemntos de la iésima fila de A por el elemento correspondiente (es decir el primero, el segundo, etc), de la j-ésima columna de B.
Nótese que es necesario que el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Además la matriz resultante será de orden m×p, o sea tendrá el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. La definición se refiere al producto en ese orden o sea AB y se dice que B es premultiplicada por A o que B es postmultiplicada por B.
Si se invierte el orden de los factores, el producto BA no está definido, pues el número de columnas de B no es igual al número de filas de A. En general AB ≠ BA.
Otro ejemplo:
y como se observa AB ≠ BA
Si todas las matrices y productos están definidos se tiene que se cumplen las siguientes propiedades:
1 A(BC) = (AB)C propiedad asociativa
2 A(B+C) = AB + AC propiedad distributiva
(A+B)C = AC + BC
3 kAB = (kA)B = A(kB)
Siendo I la matriz identidad definida como:
Se pueden representar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la multiplicación de matrices:
Siendo A la matriz de los coeficiente, X la matriz de las variables y C la de los términos independientes, tendremos:
Se anexa un archivo en PDF que les servirá para ampliar los conceptos del álgebra de matrices.
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Solución de sistemas de ecuaciones por reducción de matrices
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