Funciones exponenciales y logarítmicas

 

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x, por tanto las funciones exponenciales tienen la forma y = f(x) = ax, a > 0, a ≠1, donde a la base es una constante positiva diferente a 1, el dominio de estas funciones es el conjunto de todos los números reales. Las mas usuales son aquellas donde a = 10 ó a = e (El numero "e"). Se recomienda repasar las propiedades de los exponentes.

 

Analicemos las gráficas para valores de a > 1 y a < 1:

 

Se observa que cuando la base a es mayor que 1 (primera gráfica), la función exponencial crece sin límite al aumentar la variable x (esto es, no está acotada superiormente), es una función creciente. Además, la función tiende a cero, cuando x toma valores grandes pero negativos. Cuando la base a < 1, la función exponencial (segunda gráfica) no está acotada superiormente, pero crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos, o sea es una función decreciente. La función exponencial entonces es inyectiva (1 a 1). Nótese además que las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) y están por encima del eje x que es además su asíntota. Estas propiedades distinguen a las funciones exponenciales de las algebraicas vistas hasta ahora.

 

Las funciones logarítmicas son las funciones inversas a las funciones exponenciales: y = logax si y solo si x = ay. logax es la potencia a la cual a debe elevarse para obtener x. En la siguiente gráfica se observa que la función y = 2x y y = log2x son inversas pues se reflejan en la línea

y = x

En las funciones logarítmicas como a > 0  esto implica que  x > 0,  por lo tanto el dominio de las funciones logarítmicas son todos los números positivos. Las funciones logarítmicas más comunes son las de base 10 que se representan comúnmente por log(x) y las de base e que se representan por ln(x).

Veamos sus gráficas:

 

El número e

Entre las funciones exponenciales no son 2x y 10x (y, por supuesto los correspondientes logaritmos), las más utilizadas, sino las que tienen como base al número irracional e. Veamos el valor de la función

según aumenta x

x

(1+1/x)^x

1

2

10

2.59374246

100

2.70481383

1000

2.71692393

10000

2.71814593

100000

2.71826824

1000000

2.71828047

10000000

2.71828169

 

Nos damos cuenta que se aproxima a un valor cercano a 2.71822. Este valor fue calculado por Euler con 23 cifras decimales, y es el número irracional e, que con 10 cifras decimales tiene el valor 2.7182818284.

 

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