Máximos y mínimos

 

En algunas aplicaciones de la derivada es necesario determinar, cuando la función tiene un valor máximo o un valor mínimo. En lo siguiente, consideraremos que la función que se analiza es derivable al menos 2 veces.

Sea la función  y = 4x – x2, la gráfica que se muestra en la figura. De la misma se deduce que el valor máximo de la curva está en x = 2, es decir, en el punto  y = 4 que es el valor máximo de la función.

Como el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la recta tangente es ese punto; sin recurrir a la gráfica se puede hallar el valor de x mediante el siguiente procedimiento:

 

 

1. - Obtener el valor de la derivada de la función

2. - Igualar a cero la ecuación que resulta.

3. - Resolver la ecuación para hallar el valor crítico de x.

4. - Sustituir el valor crítico de x en la función dada y encontrar el valor de f(x).

5. - Tomar un valor ligeramente mayor y otro ligeramente menor que el valor crítico de x y sustituir en la derivada de la función.

6. - Si la pendiente resulta con un valor (+)  a (-) entonces, se trata de un máximo, y si cambia de (-) a (+) entonces es un mínimo.

 

Ejemplo: Encontrar el valor máximo o mínimo de la función  y = 4x – x2

Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos

Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2

Para x = 1.9   dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2    es positivo

Para x = 2.1    dy/dx  = 4 – 2 (2.1) = -0. 2  es negativo

 

Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.

 

Ejemplo:  Determinar si la gráfica de la función y = x2 – 3x + 6 presenta un máximo o un mínimo, mediante el método de la derivada.

Siguiendo el procedimiento anterior

 

1)                   dy/dx =