La transformada de Laplace
Introducción
Hasta ahora hemos estudiado ED relativamente sencillas cuyas soluciones encontramos por diferentes métodos de integración o aplicamos las fórmulas generales, evaluando las constantes de acuerdo a los valores iniciales o condiciones de frontera.
En esta unidad temática vamos a estudiar dos aspectos importantes:
La transformada de Laplace y su aplicación para resolver ED
Sistemas de ED sencillos
Hay una página interesante sobre la Transformada de Laplace, que les puede ser útil.
Sea f(t) con t > 0, y s un parámetro (en este curso un número real), la transformada de Laplace (TL) de f(t) se define como
El símbolo L se llama operador de la transformada de Laplace. La integral impropia que aparece en la expresión queda definida como:
La transformada de Laplace existe si el límite existe, o sea, si la integral converge. Con esta definición se calculan las transformadas de Laplace de distintas funciones y se tabulan. Aunque es una herramienta que utilizaremos de manera muy pragmática, a continuación se ponen ejemplos del cálculo de algunas TL. Noten que se utilizan los conocimientos ya adquiridos por Ustedes sobre integración, como es el caso de la integración por partes.
Un tratamiento más formal de la TL que el de esta página, junto a algunos ejercicios con sus respuestas, lo pueden encontrar en el siguiente material de la Universidad de Cantabria.
En el siguiente vínculo hay algunos ejercicios resueltos que resutan ilustrativos y que dan solución a algunas de las TL de la tabla.
Una vez que se tiene una TL, la función f(t) puede ser obtenida con la transformada inversa:
L-1{Y(s)} = f(t)
De aquí la gran utilidad de la TL para resolver ED. Este método de solución de ED presenta las siguientes ventajas:
a) transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación algebraica,
b) las condiciones iniciales se incorporan directamente al problema algebraico y
c) el uso de tablas de transformadas de Laplace facilita la resolución de los problemas.
Resulta conveniente conocer las propiedades de la TL, por lo que en el material auxiliar sobre la TL además de una tabla que nos pareció bastante completa, incluimos las propiedades de la TL y de su inversa.
Hay páginas en Internet que contienen calculadoras para determinar la TL en línea. Les suministro vínculos a una de Symbolab y otra de WolframAlpha.
Ejercicios pata discutir en el salón: Tarea 9 del curso del IESM