Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Si una tabla de 12 metros se corta en dos partes, de tal manera que una de ellas mida 4 metros más de largo que la otra, ¿cuál será la longitud de cada parte?

Sea x la longitud de la parte mayor; y la de la parte menor. Del problema:

X + Y = 12

X – Y = 4

Resolver este sistema significa encontrar todos los pares ordenados de números reales que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo. En general nos interesa resolver sistemas  lineales del tipo:

Ax + By = m

Cx + Dy = n

Donde A, B, C, D, m y n son constantes reales.

¿Cómo solucionar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas?

Lo primero es recordar lo que es una ecuación lineal, cuestión que recién acabamos de estudiar.

Una ecuación lineal de la forma ax + by = c, donde a, b y c son números y a y b son desiguales de 0, es la ecuación de una recta.

Entonces un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos de estas ecuaciones. Resolver el sistema de dos ecuaciones significa hallar el par ordenado (x, y), que satisface simultáneamente a las 2 ecuaciones.

 Por ejemplo:

4x + 5y = 40

x - y = 1           

Es un sistema lineal con solución x = 5, y = 4. También podemos escribir la solución como (5, 4)

Solución gráfica.

Como las soluciones de una ecuación lineal son los pares ordenados que están sobre la recta que representa, la solución de dos ecuaciones debe encontrarse sobre ambas rectas. En otras palabras debe ser el punto donde ambas rectas se cortan o interceptan.

Por tanto para resolver el sistema gráficamente se grafican ambas rectas y se halla el punto de intersección si existe.

Solución algebraica.

¿ Se necesita otra manera de resolver un sistema de ecuaciones?

Sí, pues la forma gráfica nos da solamente soluciones aproximadas. Localizar el punto exacto de intersección de las dos rectas requiere mucha exactitud, lo cual prácticamente es difícil de lograr. Tenemos dos vías: eliminación y sustitución.

El método de eliminación es una forma algebraica de obtener la solución exacta de u sistema de ecuaciones con dos incógnitas, manipulando las ecuaciones de forma que eliminemos a una de las variables (x o y). Veamos ejemplos.

(a) Resuelva    2x + 3y = 4

                        x - 3y = 2

Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos

3x = 6,   que da  x = 2.

Para obtener  y, sustituimos  x = 2 en cualquiera de las dos ecuaciones:

2(2) + 3y = 4, lo que da

4 + 3y = 4,   entonces

3y = 0,   o

y = 0.

Y la solución es  (x, y) = (2, 0).

(b) Resuelva    2x + 3y = 3

                        3x - 2y = -2

En este caso si sumamos o restamos las ecuaciones no eliminamos ni la x ni la y. Sin embargo podemos eliminar la x multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por –2:

2x + 3y = 3   * 3       6x + 9y = 9

3x - 2y = -2   *-2      -6x + 4y = 4

Si sumamos:

13y = 13,   que da y = 1

Para obtener x, sustituimos y = 1 en cualquiera de las dos ecuaciones:

2x + 3(1) = 3,   que da

2x + 3 = 3,   y

x = 0

Entonces la solución es  (x, y) = (0, 1).

El método de sustitución:

a) Resuelva 2x –3y = 7

                  -3x + y = -7

Despejando y de la segunda ecuación:  y = 3x – 7

Sustituyendo en la primera:  2x – 3(3x – 7) = 7

2x – 9x + 21 = 7

14 = 7x   entonces x = 2

Y sustituyendo en cualquiera:

 2 (2) – 3y = 7 lo que da y = - 1

 En el enfoque gráfico vimos que había ecuaciones con infinitas soluciones o no había soluciones. Veamos como se ve esto con la solución algebraica.

Infinitas soluciones:

3x - 5y      = 1

-6x + 10y  = -2

Si eliminamos cualquiera de las dos variables, obtendremos 0 = 0, pues es la misma recta.

Sin solución:

3x - 5y      = 1

-6x + 10y  = 2

Si eliminamos x obtendremos

0 = 4,

Lo que es absurdo

Resumiendo:

Acceder a Ejercicios y Tarea 1

PE 1A , 1B

Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más variables

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