Solución de sistemas de ecuaciones lineales por
el método de reducción de matrices (de Gauss Jordan).
Este método
permite resolver sistemas con muchas ecuaciones
simultáneas y se distingue del método de eliminación de
Gauss, visto en los sistemas de 3x3, en que cuando se elimina una
incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que
preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
Analicemos el sistema de dos
ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Vayamos escribiendo a su lado las matrices
aumentadas correspondientes:
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Sistema |
Operación |
Matriz |
Operación |
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Intercambio las ecuaciones
y obtengo un sistema equivalente |
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Intercambio de las filas 1
y 2 |
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Multiplico por –3 la
primera ecuación y la sumo a la segunda ecuación |
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Multiplico por –3 la
primera fila y la sumo con la segunda |
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Sistema equivalente |
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Divido por –7 la segunda
ecuación, obtengo sistema equivalente. |
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Multiplico la segunda fila
por
–1/7 |
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Multiplico la segunda
ecuación por –2 y la sumo a la primera. |
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Multiplico la segunda fila
por –2 y la sumo a la primera. |
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Sistema equivalente.
x = 1; y = 2 |
 x = 1; y = 2 |
Matriz reducida. Da la
solución del sistema. |
Obsérvese que la última matriz,
que da la solución, se puede obtener de la primera por una serie de operaciones
que incluyen:
- Intercambiar filas de una
matriz.
- Sumar el múltiplo de una
fila de una matriz a otra de sus filas.
- Multiplicar una fila de
una matriz por un escalar diferente de 0.
A estas operaciones se les
llama operaciones elementales sobre renglones y permiten obtener matrices
equivalentes, puestos que los sistemas de ecuaciones a que corresponden son
equivalentes.
La matriz obtenida al final es
la matriz reducida e indica la solución si:
El primer elemento diferente de
0 de cada fila es 1 y son ceros todos los demás elementos de la columna donde
aparece dicho 1.
El primer elemento distinto de 0
de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento diferente de 0 de
cada fila precedente.
Toda fila que sólo contiene
ceros se encuentra debajo de la fila que contiene un elemento diferente de 0.
Nótese que uno va tomando como
pivote el primer elemnto diferente de 0 de la primera columna, el siguiente en
la segunda columna, etc.
Ejemplo:
Resolver el sistema por el
método de reducción de la matriz aumentada:
Simplifico la 3ra fila
dividiendo por 23:
Como no hay más filas ya terminé
de pivotear. Ahora divido cada fila por su pivote para simplificar y obtengo:
Observación importante: Recuerde que lo primero es ordenar el sistema de
ecuaciones. No importa que orden Usted escoja para las variables. Lo importante
es que Usted siga ese orden en todas las ecuaciones.
Veamos otro ejemplo.
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:
Tomando como pivote el
elemento de la fila 1 y columna 1 hago las operaciones:
Tomando como pivote el
elemento a44, tenemos las operaciones:
Los alumnos de la UTIM
pueden encontrar más ejemplos resueltos en SAV-UTIM.
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Transpuesta
de una matriz
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