Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x, por tanto las funciones exponenciales tienen la forma y = f(x) = a^x, a > 0, a ≠1, donde a la base es una constante positiva diferente a 1, el dominio de estas funciones es el conjunto de todos los números reales. Las mas usuales son aquellas donde a = 10 ó a = e (El numero "e"). Se recomienda repasar las propiedades de los exponentes.

Analicemos las gráficas para valores de a > 1 y a < 1:

Se observa que cuando la base a es mayor que 1 (primera gráfica), la función exponencial crece sin límite al aumentar la variable x (esto es, no está acotada superiormente), es una función creciente. Además, la función tiende a cero, cuando x toma valores grandes pero negativos. Cuando la base a < 1, la función exponencial (segunda gráfica) no está acotada superiormente, pero crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos, o sea es una función decreciente. La función exponencial entonces es inyectiva (1 a 1). Nótese además que las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) y están por encima del eje x que es además su asíntota. Estas propiedades distinguen a las funciones exponenciales de las algebraicas vistas hasta ahora.

Las funciones logarítmicas son las funciones inversas a las funciones exponenciales: y = log_ax si y solo si x = a^y. log_ax es la potencia a la cual a debe elevarse para obtener x. En la siguiente gráfica se observa que la función y = 2^x y y = log₂x son inversas pues se reflejan en la línea

y = x

En las funciones logarítmicas como a > 0  esto implica que  x > 0,  por lo tanto el dominio de las funciones logarítmicas son todos los números positivos. Las funciones logarítmicas más comunes son las de base 10 que se representan comúnmente por log(x) y las de base e que se representan por ln(x).

Veamos sus gráficas:

El número e

Entre las funciones exponenciales no son 2^x y 10^x (y, por supuesto los correspondientes logaritmos), las más utilizadas, sino las que tienen como base al número irracional e. Veamos el valor de la función

según aumenta x

Nos damos cuenta que se aproxima a un valor cercano a 2.71822. Este valor fue calculado por Euler con 23 cifras decimales, y es el número irracional e, que con 10 cifras decimales tiene el valor 2.7182818284.

Los conocimientos de trigonometría son básicos para esta asignatura. Les adjunto un material que creo les puede ser útil sobre las funciones trigonométricas básicas. Le sugiero ver una animación sobre esto tomada del Proyecto Descartes. Sobre las funciones trigonométricas inversas pueden consultar esta página.

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