Aplicación técnica y práctica de las funciones

 

Todo lo que hemos visto de las funciones tiene una gran importancia en la Tecnología. En muchos casos las funciones que modelan un proceso tecnológico son conocidas y basta con aplicarlas para obtener, por ejemplo, el valor de una determinada variable en el proceso. En otros casos es necesario, partiendo del conocimiento general de las características físicas de un sistema, determinar el modelo matemático que lo rige o sea hallar la función que nos permita hallar variables de interés para el control o seguimiento del proceso o sistema en cuestión.

 

Construcción de modelos matemáticos utilizando las funciones.

Con los datos experimentales, por ejemplo en forma de tabla, es posible hallar el modelo matemático que mejor ajusta a estos valores. Esto se hace utilizando herramientas matemáticas que hacen el ajuste de curvas o la regresión a partir de los datos de las variables dependientes e independientes. El tratamiento de estos temas excede el objetivo de este curso y por tanto le recomendamos al interesado consultar bibliografía al respecto.

En otros casos, partiendo de las características de un sistema se pueden desarrollar las ecuaciones que lo determinan y modelar el proceso. Se invita a ver algunos ejemplos en el siguiente vínculo.

 

Ejercicios:

La presión en una marmita se describe por la ecuación:

donde P es la presión en atmósferas, m es la masa de agua en g y T la temperatura en °K.

Obtenga la gráfica de P vs T para m=9, 18 y 36 g en el rango de 0 a 200 °C. Si la presión no debe exceder 3.5 atm, ¿Se alcanzará este valor en alguno de los casos?.

 

Una reacción química transcurre según la ley:

donde k es la constante específica de velocidad y t es el tiempo en horas. Grafique esta función para Co= 2, k=0.75 y 0 <= t <=2

Si se tienen los valores de concentración y tiempo que se indican en la tabla siguiente, determine el valor de k transformando la ecuación mediante la aplicación de logaritmo neperiano a ambos lados.

 

t

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

C

2.000

1.765

1.558

1.375

1.213

1.071

0.945

0.834

0.736

 

 

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Las funciones exponenciales se aplican en aquellos casos en los que la rapidez de cambio de una magnitud es proporcional a su valor en el momento. Este concepto lo veremos con más claridad cuando estudiemos las derivadas y las integrales.

Entre las aplicaciones se encuentran:

§                     El cálculo de interés

§                     La descomposición de sustancias radioactivas y otras reacciones químicas de primer orden

§                     El crecimiento de población

§                     La tasa de depreciación de equipamiento

En el cálculo del interés se utiliza la siguiente fórmula:

donde
A es el dinero acumulado.

P es la cantidad inicial de dinero.

r es la tasa de interés anual compuesta n veces por año

t es el número de años.

Ejemplo se invierten $1,000 a una tasa de 12.5% anual compuesta anualmente por 10 años. Utilizando la formula anterior calcule la cantidad acumulada después de los 10 años:

P = $1000

r = 12.5% = .125

n = 1

t = 10

A = $1000(1 + .125)10

A = $1000(1.125)10

A = $1000(3.247)

A = $3,247

 

En el crecimiento bacteriano la fórmula comúnmente utilizada es:

donde P(t) es la población en el instante t, P0 es la población inicial (cuando t = 0), y k es la constante de crecimiento, que depende de las características del cultivo.

Ejemplo: Un cultivo bacteriano tiene una constante de velocidad de crecimiento  k = .03 y un conteo inicial arrojó el valor de 10000.

Después de 3 horas, la población del cultivo se calcula

P(t) = P0ekt

P0 = 10000

k = .03

t = 3

P(t) = 10000 e0.03(3)

P(t) = 10,940

 

El crecimiento natural, en muchos procesos, se describe por funciones que tienen forma de S (curvas sigmoideas), pues al inicio, el crecimiento se desarrolla de forma cuasi exponencial y, al agotarse algún recurso por el que compiten las unidades que se reproducen o crecen, o existir algún otro factor limitante para el crecimiento, la tasa de crecimiento disminuye hasta detenerse. Esto se aplica al crecimiento de especies animales y vegetales, al aprendizaje, a la difusión de una epidemia o del conocimiento tecnológico, el crecimiento del mercado de un nuevo producto, etc. Estas funciones se denominan funciones logísticas y la forma de sus curvas es la siguiente, donde se ejemplifica con una curva de aprendizaje:

La función general logística tiene la forma:

Donde a, b, c y d son parámetros. Existen otras representaciones de esta función. Una característica importante de estas funciones es el tiempo característico, que es el tiempo que demora f(x) en pasar del 10% al 90 % del crecimiento máximo.

 

Las reacciones químicas de primer orden y la descomposición radioactiva se comportan de una forma similar, sólo que para las sustancias reaccionantes o la que se descompone la constante de descomposición es negativa:

Una cierta sustancia radioactiva tiene una constante de descomposición  k = .06. Después de 5 horas, una muestra de 100 gramos se habrá reducido a:

C(t) = C0e-kt

Co = 100 g

k = 0.06

t = 5

C(t) = 100 e-0.06(5)

C(t) = 74.08 g

 

En la depreciación de maquinaria se tiene la constante de depreciación, que se puede manejar de manera similar a la constante de desintegración radioactiva.

Ejemplo: Cierta maquinaria de oficina se deprecia de manera constante con una rapidez instantánea de 12 % por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 10 años una máquina de escribir que ahora cuesta 5000 pesos?

Valor inicial (V0) = 5000 pesos

Constante de depreciación = 0.12 (12 %)

V(10) = 5000e-0.12×10 = 1506 pesos.

 

Las aplicaciones de las funciones logarítmicas están muy relacionadas con las de las funciones exponenciales, siendo su mayor utilidad que permiten convertir las ecuaciones exponenciales en ecuaciones con características lineales. Por ejemplo en la ecuación de desintegración radioactiva:

si aplicamos logaritmos:

y obtenemos una ecuación lineal.

 

Ejercicios resueltos.

Cierta especie de animales duplica su población cada 1 año. ¿Cuánto demorará en triplicarse? Con una población inicial de 10 000 individuos, ¿en qué tiempo alcanzará una población de   1 000 000?

Para la primera pregunta:

Para la segunda:

 

Una silla de madera encontrada en una tumba egipcia presentó una radioactividad presenta una rapidez de desintegración del carbono 14 de 4.09 desintegraciones por minuto y por gramo. Tomando en cuenta que la madera viva presenta una rapidez de desintegración de 6.68 desintegraciones por minuto y por gramo, determine la edad de la silla y el % de carbono 14 descompuesto.

Lo primero es establecer que la velocidad de la desintegración va a ser proporcional a la cantidad de carbono 14. Por tanto: 4.09 µ Q(t)  y 6.68 µ Q(0)

Como k=0.0001203125 años-1

En cuanto a la fracción desintegrada es simplemente:

 

Un lago se contaminó con DDT. La acción natural de las bacterias hace que el nivel de DDT disminuya en un 10 % en 7 años. No es posible volver a tener peces en el lago hasta que el nivel de DDT sea menor de un 50 % del nivel actual. ¿Cuándo volverá el lago a ser habitable? Asuma un comportamiento exponencial de la concentración de DDT.

Lo primero es hallar la constante de velocidad de descomposición a partir de los datos:

Ahora conociendo la velocidad, podemos plantearnos la ecuación para cuando la concentración de DDT sea un 50 % de la actual:

O sea el lago vuelve a ser habitable cuando han pasado aproximadamente 46 años.

 

Un alimento líquido contiene un aditivo antioxidante que se adicionó en la cantidad de 3000 mg en 100 L. Cuando la concentración alcanza un valor de 0.01 mg/mL, el alimento comienza a alterarse, siendo necesario adicionar una nueva dosis similar en ese instante. Si la concentración del aditivo sigue la ley:

Con el tiempo en días. ¿Cúando será necesario añadir la segunda dosis?¿Cuándo la tercera?

Evidentemente:

Entonces para saber el tiempo en que alcanza 0.01 mg/ml de concentración:

Entonces a los 219 días adiciono la segunda dosis de 0.03 mg/ml y tengo por tanto 0.04 mg/ml. De nuevo calculo el tiempo para volver a dosificar con este nuevo valor de la concentración del aditivo presente:

O sea a 277 días de la segunda dosificación (219+277), 496 días desde la primera dosis, tengo que realizar la tercera dosificación.

 

Los alumnos de la UTIM resolverán los ejercicios asignados en su Tarea 1 (en SAV-UTIM).

 

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