Funciones lineales
Una función lineal tiene la forma:
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f(x) = mx + b |
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Notación de función |
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y = mx + b |
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Notación de ecuación |
De aquí entonces, escribiendo en notación de ecuación, tenemos las ecuaciones lineales.
La pendiente m:
Si y = mx + b, entonces:
(a) y cambia en m unidades por cada cambio de 1 unidad en x.
(b) Un cambio de Dx implica un
cambio de mDy.
(c) Resolviendo para m:
Dy cambio en y
m = ------------------ = -------------------
Dx cambio en x
A mayor pendiente más inclinada es la recta:
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X |
Y=2X-3 |
Y=X-3 |
Y=0,5X-3 |
|
-5 |
-13 |
-8 |
-5,5 |
|
-4 |
-11 |
-7 |
-5 |
|
-3 |
-9 |
-6 |
-4,5 |
|
-2 |
-7 |
-5 |
-4 |
|
-1 |
-5 |
-4 |
-3,5 |
|
0 |
-3 |
-3 |
-3 |
|
1 |
-1 |
-2 |
-2,5 |
|
2 |
1 |
-1 |
-2 |
|
3 |
3 |
0 |
-1,5 |
|
4 |
5 |
1 |
-1 |
|
5 |
7 |
2 |
-0,5 |
El intercepto b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b
Graficando ecuaciones lineales:
Una solución para una ecuación lineal es un par ordenado que satisface la ecuación. Considerese la ecuación y = x + 3:
|
X |
Y=X-3 |
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-5 |
-8 |
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-4 |
-7 |
|
-3 |
-6 |
|
-2 |
-5 |
|
-1 |
-4 |
|
0 |
-3 |
|
1 |
-2 |
|
2 |
-1 |
|
3 |
0 |
|
4 |
1 |
|
5 |
2 |
Nótese que hay un número infinito de soluciones.
Esta es la base para graficar funciones lineales.
Interceptos con los ejes x e y:
Para hallar el intercepto con el eje x , haga y=0 y resuelva para la x
Para hallar el intercepto con el eje y , haga x=0 y resuelva para la y
Ejemplo: 2x -3y = 6
Primero hallar los interceptos
x = 0; -3y = 6
y=-2; el punto (0,-2) está en la línea.
y = 0; 2x = 6
x = 3; el punto (3,0) está en la línea.
Cheque un tercer punto en la ecuación: Sea x = 6; 2(6) -3y = 6
12 -3y = 6
-3y = -6
y = 2
Ejemplo 2: y = 3x
x = 0; y = 3(0) = 0
El origen es parte de la recta y es necesario ver otros dos puntos. Una tabla de valores resulta útil.
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X |
Y=3X |
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-2 |
-6 |
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-1 |
-3 |
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0 |
0 |
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1 |
3 |
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2 |
6 |
|
3 |
9 |
En la siguiente gráfica se muestran los dos ejemplos.
Líneas horizontales y verticales:
x = 4, y = -5 son ejemplos de ecuaciones de vertical y horizontal.
Para obtener buenas gráficas, es necesario escoger adecuadamente la escala de los ejes, de manera que la gráfica tenga una resolución adecuada y al mismo tiempo abarque la parte del dominio de la función que interesa para su empleo. Esto lo practicará en los ejercicios. Además le recomendamos utilice Excel para la solución de los mismos.
Determinación de ecuaciones lineales