Ecuaciones Lineales

Introducción.

En la solución de problemas prácticos de la ingeniería y la vida cotidiana tenemos que emplear ecuaciones que tenemos que resolver para determinar algún aspecto que nos interesa. En las mismas tenemos casi siempre una variable que es función de otra. Por ejemplo, si tenemos una marmita cerrada en la que tenemos agua y le aplicamos calor, el agua comenzará a evaporarse y el vapor de agua ejercerá una presión determinada. Evidentemente la presión que ejercerá el vapor va a ser función de la temperatura de la marmita. En este caso tendremos que la presión será la variable dependiente y la temperatura la variable independiente. Muchas veces estas ecuaciones son complejas y tienen un grado mayor que 1 en la variable independiente. Sin embargo en determinados rangos, esta dependencia se podrá aproximar por una ecuación de grado 1 en la variable independiente. A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones lineales porque su gráfica será una línea recta y son de mucha importancia en el quehacer tecnológico. Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente dependencia entre la variable dependiente Y y la variable independiente X:

Evidentemente la relación entre Y y X no es lineal. Supongamos que trabajamos en un proceso dado con valores de X que varían entre 18 y 28. Para ese intervalo de valores de X, podemos aproximar la dependencia entre las dos variables con la recta que se ilustra y podemos obtener una relación entre ellas que responde a la ecuación que se muestra en la parte superior de la gráfica.

Por su importancia, veremos en esta sección las ecuaciones lineales.

Algunas definiciones necesarias

Variable: Es un símbolo (x, y, z, m, n, o, etc.), que representa un elemento mo específicado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado universo de la variable y cada elemento del conjunto es una posible variable. Por ejemplo  si x es una variable cuyo universo es el conjunto C = {1,2,3,4}, x puede tomar cualquiera de los valores de ese conjunto.

Constante: Es un símbolo que denomina al elemento de un conjunto que tiene sólo un elemento, o sea tiene un valor fijo.

Parámetro: son constantes pero para una familia de ecuaciones (curvas), funcionan como variables. Por ejemplo en y = ax+b, a y b son parámetros de esa familia de rectas.

Par ordenado: Es un conjunto de dos elementos (x,y), donde x es la primera componente y y la segunda componente. Por ejemplo en (2,5), la primera componente es 2 y la segunda componente es 5. En nuestro curso, casi siempre lo asociaremos con las coordenadas de un punto en coordenadas cartesianas. El par ordenado (a,b) es desigual a (b,a). Esto se ve en el ejemplo gráfico de que (5,3) es desigual a (3,5):

Coordenadas Cartesianas: Son las definidas por dos ejes, uno horizontal o eje de las abscisas y otro vertical o eje de las ordenadas. En la figura se muestran estos ejes y determinados pares ordenados, ilustrando las características de los cuadrantes.

Ejes cartesianos, cuadrantes y sus características

Distancia entre puntos

Fórmula:

ejemplo: Halle la distancia entre A(3,6) and B(7,9).

Funciones

Una función real f de una variable real, no es más que una regla que asigna a cada número x en un conjunto determinado de números, denominado el dominio de x, un solo valor de f(x). Al conjunto de los valores que toma f(x), se le denomina dominio de imagen de la función f.

A continuación se exponen tres definiciones equivalentes de función:

1. F es una función entre 2 conjuntos A y B, sí y sólo sí F es una relación especial entre A y B de tal modo que todo elemnto de A tiene un único correspondiente en B.

2. Una función F es el conjunto de pares ordenados de tal manera que la primera componente no se repite.

3. Una función F es el conjunto de pares ordenados en los cuales a cada elemento del Dominio le corresponde uno y sólo uno del Dominio de Imagen.

Muchas veces escribiremos las funciones en la forma y = f(x) ; p = f(t) ; etc. En estos casos la variable y o la p se denominan variables dependientes y la x o la t se denominan variables independientes. Entonces podemos definir:

·          Variable independiente: Es aquella cuyo universo está formado por las primeras componentes (x), de los pares ordenados (x,y) de una función (pudieramos decir también cuyo universo es el dominio de la función).

·          Variable independiente: Es aquella cuyo universo está formado por las segundas componentes (y), de los pares ordenados de una función (pudiéramos decir también cuyo universo es el dominio de imagen de una función).

Una función puede ser especificada:

1.      Numéricamente – mediante una tabla

2.      Algebraicamente – por medio de una ecuación

3.      Gráficamente – mediante una gráfica.

Numéricamente:

Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente.

Algebraicamente:

f(x) = 3x² - 4x + 1. Entonces:

f(2) = 3(2)² - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5,
f(-1) = 3(-1)² - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8.

Como f(x) está definida para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales.

Gráficamente:

Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0, and f(3) = 5.

El gráfico de una función es el conjunto de todos los pares ordenados (x,f(x)) en coordenadas cartesianas, donde restringimos los valores de x a los del Dominio de f. Para que un gráfico sea el de una función dada, toda línea vertical debe intersectar al gráfico en como máximo un punto.

Ejemplo

Para obtener el gráfico de

f(x) = 3x² - 4x + 1   (notación de función)

con domino restringido a (0, ¥), sustituímos f(x) por y y obtenemos la ecuación:

y = 3x² - 4x + 1   (notación de ecuación)

y graficamos la misma graficando los puntos (x, y), estando restringida x a estar entre 0 e infinito y obtenemos:

Funciones Lineales

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