En la práctica de la tecnología nos encontramos con frecuencia casos en los que se describen sistemas por ecuaciones lineales y debemos encontrar una solución que satisfaga simultáneamente estos sistemas. Por ejemplo, supongamos que deseamos mezclar el contenido de dos reactores donde la cantidad de un producto depende linealmente del tiempo en horas que lleva trabajando el reactor. Uno de los reactores sigue la ecuación Pr1 – 2t = 2 y el otro la ecuación Pr2 – t = 3. La mezcla debe hacerse en el momento que la cantidad de producto en ambos reactores sea la misma. Si vemos el gráfico donde se representan ambas ecuaciones, nos parece obvio que esto se podrá realizar a las 3 horas. En ese momento en ambos reactores tenemos la misma cantidad de producto (8 kg). Evidentemente las coordenadas del punto de cruce de ambas rectas (3 h ,8 kg) satisfacen a ambas expresiones pues ese punto está localizado sobre ambas rectas. En otras palabras esos valores satisfacen simultáneamente a ambas ecuaciones.
No siempre es tan evidente la solución de los sistemas, o gráficamente resulta difícil tener la precisión para hallar la solución de una forma similar a la utilizada para el problema de los reactores. Por ejemplo, les propongo en un tiempo razonablemente corto resolver este sistema por tanteo de valores:
Un fabricante de yogurt prepara 3 mezclas: Naranja-Lima, utilizando 2 litros de yogurt de lima y 2 litros de yogurt de naranja; Lima-Limón utlizando tres litros de yogurt de lima y 1 litro de yogurt de limón; y Naranja-Limón con 3 litros de yogurt de naranja y 1 litro de yogurt de limón. Si cada día se dispone de 800 litros de yogurt de lima, 650 litros de yogurt de naranja y 350 litros de yogurt de limón, ¿cuantos litros de cada mezcla se deben preparar diariamente para utilizar todo lo disponible?
Sin embargo, utilizando los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones lineales, la solución es sencilla y rápida. Este problema lo resolveremos más adelante.
Definiciones importantes.
Sea una ecuación lineal de la forma:
donde a1, a2,..., an reciben el nombre de coeficientes, c se llama el término independiente y x1, x2, …., xn son símbolos que denominaremos variables.
Como vemos las ecuaciones son lineales porque las variables están elevadas a la potencia 1. Si consideramos solamente 2 variables y las denominamos por x e y, obtenemos una ecuación lineal ya conocida por Ustedes: a1x + a2y = c.
Hallar una solución de una ecuación es hacer una asignación de valores de manera que se satisfaga la igualdad.
Un conjunto de m ecuaciones lineales con las mismas incógnitas:
se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Nótese que los coeficientes tienen la forma general aij donde i nos indica la ecuación (la ecuación 1, 2,……., m) y j la variable que afecta (la variable 1, 2,……, n). Se denomina solución del sistema a cada asignación de valores de las incógnitas, x1=k1,..., xn=kn que haga verificarse todas las igualdades simultáneamente (en otras palabras k1, k2,….., kn son valores numéricos que hacen que todas las ecuaciones sean satisfechas simultáneamente). Se dice que (k1,...,kn) es una solución del sistema. Llamaremos solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen la misma solución general.
Según el número de soluciones los sistemas podemos clasificarlos por:
Sistemas compatibles, si tienen alguna solución:
v Determinados, solo una solución.
v Indeterminados, más de una solución.
Sistemas incompatibles, sin solución.
Un sistema se dice homogéneo si, ci = 0, para cualquier valor de i. Todo sistema homogéneo es compatible pues admite la solución (0,...,0).
Comencemos con los sistemas más sencillos.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas