Fundamento estadístico del muestreo de aceptación.
Como ya mencionamos, debido a la existencia de muchos factores aleatorios, no existen dos unidades de un producto exactamente iguales. Esto conduce en algunos casos a que haya productos no conformes con la función que el cliente requiere, bien debido a que hay una falla para lograr el desempeño requerido por diseño o a una variación excesiva alrededor de ese desempeño nominal. Las fuentes de variación conducen a desperdicios e ineficiencias y cada vez que se identifica o se remueve una de ellas se logra un incremento en calidad del producto y una mayor productividad. Le excesiva variabilidad conduce a desperdicios. Como la variabilidad se describe en términos estadísticos, los métodos estadísticos están en la esencia de los planes de muestreo. Es conveniente que el alumno repase los conceptos estdísticos vistos en Matemáticas III.
La curva CO de un plan de muestreo proporciona una caracterización del potencial desempeño del mismo, ya que con ésta se puede saber la probabilidad de aceptar o rechazar un lote que tiene determinada calidad. Para cualquier fracción defectuosa p en un lote, la curva OC muestra la probabilidad Pα de que se aceptará ese lote con el plan de muestreo que se emplee, lo que es igual al porcentaje a largo plazo de lotes que se aceptarían si se presentasen muchos lotes de cualquier calidad expresada, para inspección.
Para obtener la CO de lotes grandes se aplica la distribución binomial. Bajo esta condición, la distribución del número de artículos defectuosos, x, en la muestra aleatoria de tamaño n, es binomial con parámetros n y p. La probabilidad de observar exactamente x defectuosos en la muestra esta dada por la ecuación:
x = 0, 1, 2,……, n
donde:
es el número de combinacione de n elementos tomados de x en x
La obtención de la curva CO es sencilla y la ilustraremos con un ejemplo. Supóngase que n = 100 y el lote se rechaza si hay más de un defectivo o sea c = 1.
En la siguiente tabla se muestran los valores de la probabilidad de ocurrencia de x defectos, partiendo de que el porcentaje de defectivos en el lote sea desde 0 hasta 6 % (p = 0 hasta p = 0.06).
|
x |
p=0 |
p=1 |
p=2 |
p=3 |
p=4 |
p=5 |
p=6 |
|
0 |
1,000 |
0,366 |
0,133 |
0,048 |
0,017 |
0,006 |
0,002 |
|
1 |
0,000 |
0,370 |
0,271 |
0,147 |
0,070 |
0,031 |
0,013 |
|
2 |
0,000 |
0,185 |
0,273 |
0,225 |
0,145 |
0,081 |
0,041 |
|
3 |
0,000 |
0,061 |
0,182 |
0,227 |
0,197 |
0,140 |
0,086 |
|
4 |
0,000 |
0,015 |
0,090 |
0,171 |
0,199 |
0,178 |
0,134 |
|
5 |
0,000 |
0,003 |
0,035 |
0,101 |
0,160 |
0,180 |
0,164 |
|
6 |
0,000 |
0,000 |
0,011 |
0,050 |
0,105 |
0,150 |
0,166 |
|
7 |
0,000 |
0,000 |
0,003 |
0,021 |
0,059 |
0,106 |
0,142 |
|
8 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
0,007 |
0,029 |
0,065 |
0,105 |
|
9 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,002 |
0,012 |
0,035 |
0,069 |
|
10 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
0,005 |
0,017 |
0,040 |
|
11 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,002 |
0,007 |
0,021 |
|
12 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,003 |
0,010 |
|
13 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
0,004 |
|
14 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,002 |
|
15 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,001 |
|
S0+1 |
1,000 |
0,736 |
0,403 |
0,195 |
0,087 |
0,037 |
0,015 |
La gráfica de P en función de x para distintos p se muestra a continuación.
La gráfica nos muestra claramente que si en el proceso no hay defectivos (p = 0), la probabilidad de aceptar cualquier lote es 1. Al aumentar el porcentaje de defectivos, el máximo de la distribución se desplaza a valores mayores de x.
La tabla mostrada se puede obtener fácilmente utilizando Excel y utilizando la función DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO). En la última fila se muestra la probabilidad acumulada hasta x = 1, que es precisamente lo que nos interesa, o sea la probabilidad de que en 100 muestras haya hasta 1 defecto si tenemos diferentes valores de p. Utilizando intervalos de p de 0.001 y considerando la función DISTR.BINOM(1;n;p;VERDADERO) para obtener directamente la distribución acumulada, podemos obtener la gráfica siguiente (ver ejemplo):
Des esta manera, la curva CO de la gráfica muestra el poder discriminatorio del plan de muestreo n = 100, c =1. Por ejemplo, si los lotes tienen 5% de artículos defectuosos (p = 0.05), entonces la probabilidad de aceptarlos es aproximadamente 0.04. Esto significa que si 100 lotes con 5% de defectuosos, son sometidos a este plan de muestreo, entonces se esperaría aceptar a 4 y rechazar a 96. En la figura se muestra también la curva CO ideal. Con ella si la proporción de defectivos es del 1% o menos se acepta con probabilidad 1, mientras que si es mayor a 1% se rechaza. Teóricamente la curva ideal se alcanza con la inspección al 100 %, suponiendo que no haya errores en la misma, lo cual difícilmente ocurre. En otras palabras no hay un plan de muestreo que tenga una curva CO ideal.
El tamaño de la muestra influye en el poder de discriminación, como ilustra con la siguiente gráfica con de curvas CO para diferentes tamaños de muestra n. Con muestras mayores se obtiene un mayor poder de discriminación.
En esta gráfica se puede observar que aumentando el tamaño de la muestra, la curva CO cae más bruscamente. Por ejemplo, si el porcentaje de defectivos en los lotes es de 5 % la probabilidad de aceptar tales lotes con p igual a 0.05 es de 64, 28, 11 y 4 % para n = 25, 50, 75 y 100 unidades respectivamente.
Al disminuir el número de aceptación la curva CO cae más rápido y con ello los planes se vuelven más estrictos. Esto se puede apreciar en las curvas CO para los planes n = 100 que se muestran en la figura siguiente.
Es interesante observar que para c = 0, la probabilidad de aceptación cae muy rápido con p, lo que hace que la curva presente concavidad hacia arriba en todo el rango de valores. Si analizamos que un % de defectivos de 1% resulta aceptable, para esta curva CO aceptariamos sólo un 37% de los lotes, mientras que con c = 1 y c = 2 aceptaríamos el 74 y el 92% de esos lotes que en realidad cumplen con ese nivel de calidad. Dicho de otra manera, utilizar c = 0 resulta muy exigente para el proveedor por lo que no siempre son recomendables.
Curvas CO tipo A y tipo B.
Como ya se explicó, para aplicar la distribución binomial se parte de la premisa de que los lotes son grandes o que son secuencias de lotes que provienen de un proceso contínuo. Estos casos se pueden aproximar por la distribución de Poisson si si p ≤ 0.1 y n.p ≤ 10. Las curvas que se obtienen, las ya vistas, se denominan curvas de tipo B.
La distribución de Poisson:
Para los lotes aislados y finitos la distribución válida es la hipergeométrica, que en algunos casos se puede aproximar a la binomial si n/N ≤ 0.1. Las curvas que se obtienen se denominan curvas tipo A. La fórmula:
