Conceptos básicos de matrices.
En muchas aplicaciones de las matemáticas, nos vamos a encontrar con disposiciones o arreglos rectangulares de números. Sea por ejemplo el sistema:
Las particularidades que caracterizan a este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón este sistema puede describirse mediante el arreglo rectangular:
que se denomina matriz.
Entonces una matriz no es más que un arreglo rectangular de números y se acostumbra a representarlos encerrados entre corchetes. También se utiliza encerrarlos entre paréntesis. Al representar matrices en forma simbólica generalmente se emplean mayúsculas en negrita, A, J, etc. Por ejemplo podemos representar en forma matricial la producción de concentrados alimenticios con diferentes composiciones:
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Grasa |
Carbohidratos |
Proteínas |
Formulación 1 |
10 |
20 |
15 |
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Formulación 2 |
5 |
25 |
10 |
Que en
forma matricial sería: 
Los renglones o filas horizontales de una matriz se numeran en forma consecutiva de arriba hacia abajo y las columnas o hileras verticales se numeran de izquierda a derecha. Así en la primera matriz que escribimos:
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Columna 1 |
Columna 2 |
Columna 3 |
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Fila 1 |
3 |
4 |
3 |
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Fila 2 |
2 |
1 |
-1 |
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Fila 3 |
9 |
-6 |
2 |
Cada número en la matriz se denomina un elemento de la matriz.
Para denotar elementos arbitrarios de una matriz se pueden utilizar letras diferentes
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Columna 1 |
Columna 2 |
Columna 3 |
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Fila 1 |
a |
b |
c |
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Fila 2 |
d |
e |
f |
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Fila 3 |
g |
h |
i |
O se puede utilizar la misma letra con subíndices dobles que nos indiquen la posición de cada elemento en la matriz:
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Columna 1 |
Columna 2 |
Columna 3 |
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Fila 1 |
a11 |
a12 |
a13 |
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Fila 2 |
a21 |
a22 |
a23 |
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Fila 3 |
a31 |
a32 |
a33 |
Para el elemento a22 (se lee a sub dos-dos), el primer subíndice especifica la fila y el segundo la columna.
Definición: A un arreglo rectangular de números que consta de m renglones y n columnas
se le denomina matriz m´n, o matriz de orden m´n. En el símbolo de elemento aij i es el subíndice que correponde a la fila y j es el subíndice que corresponde a la columna.
La matriz que tiene una sola fila se denomina matriz fila, por ejemplo:
La matriz que tiene una sola columna se denomina matriz columna, por ejemplo:
A las matrices en que el número de filas es igual al número de columnas se le denomina matriz cuadrada de orden n. Por ejemplo:
es una matriz cuadrada de orden 3
en las matrices cuadradas, los elementos en los cuales i = j quedan en la diagonal que se extiende de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, se denominan elementos de la diagonal principal o simplemente diagonal principal de la matriz:
Así por ejemplo en la matriz
los elementos de la diagonal son a11 = 3,
a22 = 1 y a33 = 2
Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior o triangular inferior si los elementos que están por debajo o por encima respectivamente, son iguales a 0:
triangular superior ;
triangular inferior
La matriz cuyos elementos son todos iguales a 0 la denominaremos matriz O por ejemplo:
Una matriz cuadrada, A=(aij), es diagonal si aij = 0, para i ≠ j . Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es diagonal:
La matriz unidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. Por ejemplo la siguiente es una matriz unidad de orden 3:
Ya vimos que en el sistema:
la matriz de los coeficientes es:
Si incluímos los términos independientes en la matriz, tendremos la matriz aumentada:
Con las matrices se realizan operaciones de suma, resta y multiplicación que veremos a continuación.
Se suministra un vínculo a una página web donde pueden ver más aspectos sobre matrices y determinantes y que pueden utilizar en su estudio de esta unidad y la próxima sobre determinantes.