Matriz Inversa
Definición y obtención.
Definición: Si A y B son matrices nxn, entonces B es la matriz inversa de A si y solo si BA = I.
Si se puede probar que B es la inversa, entonces es única.
por lo que A no es invertible.
Hay varias formas de obtener la matriz inversa. En esta unidad veremos el método de Gauss
Método de Gauss
Sea A = [ai j] una matriz cuadrada de orden n. Para hallar la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, se seguirán los siguientes pasos:
Construir una nueva matriz M = (A| I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, se ponen ceros, utilizando las operaciones elementales sobre renglones como vimos en la reducción de matrices.
Se repite el paso anterior, pero tomando como pivote (en forma sucesiva), los demás elementos de la diagonal de la matriz hasta obtener la matriz identidad.
La matriz resultante en la parte derecha de M, es la inversa de la matriz A original.
Ilustremos con un ejemplo práctico. Consideremos la matriz 3x3 siguiente y ejecutemos los pasos:
Nótese que la matriz en la parte izquierda de la matriz auxiliar es triangular, lo que indica que es invertible.
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar A-1A, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
Comprobación:
Resulta conveniente dejar los resultados en forma de fracción, si se obtienen, para hacer más fácil la comprobación.
Resulta más rápido para comprobar manualmente, utilizar la inversa expresada en fracciones, sobre todo cuando los números en la matriz original no son tan sencillos como los del ejemplo.
Solución de sistemas de ecuaciones utilizando las matrices inversas.
Ya vimos que un sistema de ecuaciones lo podemos expresar como el producto de la matriz de los coeficientes por la matriz columna de las variables e igualando a la matriz columna de los términos independientes:
AX = C
No está definida la división de matrices, pero sí la inversa y tenemos la propiedad:
X = A-1C.
Entonces una vez hallada la inversa de la matriz de los coeficientes, resolver el sistema se reduce a multiplicar la matriz inversa por la matriz columna de los términos independientes e igualar a la matriz columna de las variables. Por ejemplo sea el sistema que tiene como matriz de los coeficientes la del último ejemplo que vimos para obtener la inversa:
Ejercicios: Resuelva los sistemas vistos en la UT3 y los vistos en reducción de matrices, utilizando matrices inversas.
Nota: Lógicamente, uno emplea programas y software que se encuentra disponible en varias fuentes, para resolver sistemas de ecuaciones, etc. Esto libera tiempo para pensar en los procesos, en el diseño de productos, experimentos y sobre todo para analizar los resultados. No obstante, como siempre les menciono en clase, uno debe dominar el fundamento de las matemáticas y sus métodos para poder hacer un uso efectivo de los mismos y sobre todo para interpretar correctamente los resultados de las operaciones, ecuaciones, etc., que se emplean. Por ello, con toda intención, no les he suministrado acceso a estas herramientas. Además de que Ustedes las pueden buscar, les doy un pequeño archivo de Excel, Minversa.xls, para resolver los sistemas. Está protegido por contraseña, que les suministraré después que ya dominen el trabajo con las matrices inversas.
Los alumnos que hayan reprobado el segundo parcial deben hacer la Tarea Especial correspondiente.
Tarea Especial del Segundo Parcial