Determinantes

Ahora vamos a presentar una nueva función, la función determinante. Aquí las entradas serán matrices cuadradas pero las salidas serán números reales.

                                                    matriz cuadrada         número real = determinante de A

Definiciones:

Si A = [a₁₁] es una matriz cuadrada de orden 1, entonces |A| = a₁₁

Es decir la función determinante asigna a una matriz con un solo elemento el valor del número que cosntituye a ese elemento. Por lo tanto si A = [6], entonces |A| = 6

Es decir el determinante de una matriz 2×2 se obtiene con el producto de los elementos de la diagonal principal y restándole a éste el producto de los elementos de la otra diagonal. Se habla del determinante de una matriz 2x2 en términos de un determinante de orden 2.

El determinante de una matriz cuadrada de orden n > 2 se define de la siguiente manera. A un determinado elemento de A se le asocia la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene eliminando los elementos de la fila y la columna en los que está el elemnto dado. Por ejemplo, dada la matriz:

También a cada elemento se asocia un número determinado por el subíndice del elemento: (-1)^i+j

En el caso visto a a₃₂ se le asigna (-1)³⁺² = (-1)⁵ = -1

Se define el cofactor del elemento a_ij es el producto de (-1)^i+j por el menor de a_ij:

c_ij = (-1)^i+j × menor a_ij

En el ejemplo dado:

Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada de orden n (n>2), se elige cualquier fila o columna y se multiplica cada elemento de esa fila o columna por su cofactor  y se define que el determinante de la matriz es la suma de estos productos:

 (1)(4*1-1*2)- (0)(0*1-(-2)*(-3))+(-3)(0*1-(-2)*4) = (1)(2) – 0 + (-3)(8) = 2-24 = -22

El determinante de una matriz es único y no depende de la fila o columna que se escoja para su evaluación.

Siempre es conveniente escoger la fila o columna donde haya ceros, pues facilita la resolución.

Propiedades de los determinantes:

• Si son cero todos los elementos de una fila o columna |A| = 0
• Si dos filas o columnas son iguales |A| = 0
• Si A es triangular superior o inferior, entonces el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal.
• Si B es la matriz que se obtiene sumando a una fila (o columna)  de A el múltiplo de otra fila (o columna), entonces |B| = |A|
• Si B es la matriz que se obtiene de intercambiar dos filas (o columnas)  de A, entonces  |A| = - |B|
• Si B es la matriz que se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de una fila (o columna ) de A por el mismo número k, entonces |B| = k|A|
• El determinante de dos matrices de orden n es el producto de sus determinantes, o sea |AB| = |A||B|

Ejercicio: Demuestre las propiedades de los determinantes con matrices que Ud. construya. Será discutido en clase.

Aplicación de los determinantes

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